Πρώτες βόλτες

Φυσική για υποψήφιους επιστήμονες
Μπάμπης Λάσκαρις

Στοιχεία κατανόησης, θεωρία και ασκήσεις, προβληματισμοί

Μηχανική

Μέρος Πρώτο
Η Μηχανική και οι Ιδιότητες της Ύλης
Κεφάλαιο Ι

Μεγέθη, Μονάδες Μέτρησης / Μετρήσεις

Τι είναι φυσικό μέγεθος; Τι θα μπορούσε να χαρακτηριστεί σαν τέτοιο ώστε να αποτελέσει αντικείμενο της έρευνάς μας στη Φυσική;
Είναι κάτι από το περιβάλλον μας, κάτι το παρατηρήσιμο, κάτι που μπορεί να μετρηθεί. Και μπορεί να μετρηθεί μέσα από μια διεργασία που λέγεται μέτρηση. Μέτρηση είναι η σύγκριση ενός φυσικού μεγέθους με ένα τμήμα του που παίρνουμε σαν μονάδα.
Ας ξεκινήσουμε φέρνοντας σαν παράδειγμα μια σχεδόν καθημερινή ασχολία, την μέτρηση του μήκους. Κάθε άνθρωπος ξέρει ήδη από τα παιδικά του χρόνια να διαχωρίζει το μακρύτερο από το κοντύτερο: είναι δηλαδή εξοικειωμένος μ’ έναν τρόπο με την έννοια του μήκους ή της απόστασης.
Τι είναι φυσικός νόμος;
Είναι κάτι που ισχύει για κάποια κατηγορία όντων – έμβιων ή αντικειμένων και πραγμάτων- γενικά, παντού και πάντα: δηλαδή, κάτι που ισχύει, μια αρχή ή μια αλήθεια, για κάτι άλλο, ανεξάρτητα από τον τόπο ή το χρόνο ή τη χρονική στιγμή- με λίγα λόγια κάτι το σταθερό, το αμετάβλητο. Σαν φυσικό νόμο μπορούμε να θεωρήσουμε τον θάνατο για τα έμβια όντα, ή τον νόμο της βαρύτητας για όλα τα σώματα, από τη Γη και τη Σελήνη, μέχρι τα σπίτια, τα αυτοκίνητα και τα βιβλία.
Πώς πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους τα φυσικά μεγέθη;
Τα φυσικά μεγέθη, δεν πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους: απλώς ορίζονται, συνήθως ως πηλίκα που προκύπτουν από την πράξη της διαίρεσης με βάση τον ορισμό τους και τη λογική. Για παράδειγμα λέμε ότι η ταχύτητα ενός ανθρώπου που περπατάει προς το Σύνταγμα είναι 5km/h = 5 χιλιόμετρα την ώρα = 5 χιλιόμετρα την κάθε ώρα = πέντε χιλιόμετρα ανά ώρα κ.λπ. Πράγμα που σημαίνει ότι σε μία ώρα ο άνθρωπος αυτός διανύει πέντε χιλιόμετρα δρόμου. Ή ότι το μήκος του δρόμου που διανύει αυτός είναι πέντε χιλιόμετρα, αν περπατήσει μία ώρα. Ή ότι σε μια ώρα θα έχει κάνει πέντε χιλιόμετρα. Τώρα, αν ρωτήσουμε πόσα km θα έκανε αν περπάταγε μισή ώρα, η απάντηση έρχεται μόνη της με βάση τη λογική: τα μισά km, δηλαδή 2,5 km.
Μπορούμε τώρα να «βγάλουμε έναν τύπο», μαθηματικό τύπο, που να συνδέει την ταχύτητα με την απόσταση και τον χρόνο; Αν σκεφτούμε πάλι με βάση τον ορισμό και τη λογική και ίσως λίγο περισσότερο αφηρημένα, θα έχουμε:
Ταχύτητα= Διάστημα που διανύει κάτι/ χρόνο που απαιτείται
ή
v = s / t
velocity, space, time equation (εξίσωση ταχύτητας, διαστήματος και χρόνου).
Όπως άμεσα παρατηρούμε, τα μαθηματικά έχουν κάνει ήδη την εισβολή τους στο πεδίο μελέτης μας. Υπάρχουν λοιπόν στη Φύση; Υπάρχουν πρώτιστα στη Λογική μας, που μέσω αυτής εμείς παρατηρούμε και ερμηνεύουμε τη Φύση, τον Κόσμο δηλαδή που μας περιβάλλει.
Αν θέλουμε τώρα έναν τύπο για την απόσταση (διάστημα), δεν έχουμε παρά να λύσουμε ως προς s την παραπάνω σχέση. Οπότε παίρνουμε: s = vt.
Αυτό δεν είναι παρά μια «ψευδαίσθηση πολλαπλασιασμού», μια «απεικόνιση», των δύο φυσικών μεγεθών που δίνουν σαν γινόμενο το τρίτο. Κι όπως είδαμε, η απεικόνιση αυτή προέκυψε δευτερογενώς από τα μαθηματικά που προκύψανε με τη σειρά τους αβίαστα από τον ορισμό της ταχύτητας και τη λογική.
Παράδειγμα: Αν ένας δρομέας διανύει την απόσταση Κηφισιάς – Συντάγματος σε μία ώρα, σε πόση ώρα θα έχει διανύσει τη μισή; Την διπλάσια;
Με βάση τη λογική, σε μισή ώρα θα έχει διανύσει την μισή απόσταση, που είναι και η απάντηση στο πρόβλημά μας. Τώρα, πάλι με βάση τη λογική, σε δύο ώρες, δηλαδή στον διπλό χρόνο θα έχει διανύσει την διπλάσια απόσταση.
Με βάση τον τύπο τώρα s = vt, έχουμε: t = s/v, οπότε αν s = s/2, θα πάρουμε για το t = t’ = ½ (s/v) = ½ 1 hour = ½ ώρα = μισή ώρα = 30’.
Και για το δεύτερο ερώτημα, αν s = 2s, θα πάρουμε για το t = t’’ = 2(s/v) = 2 1hour = 2 hours = 2 ώρες = 120’.
Το παραπάνω παράδειγμα, όπως και τα περισσότερα από την καθημερινή ζωή, παρουσιάζει δεδομένα που δεν χρησιμοποιούνται για την επίλυση του προβλήματος. Έτσι, οφείλουμε πάντα να είμαστε προσεκτικοί όταν διαλέγουμε μεταβλητές για να πραγματοποιήσουμε οποιαδήποτε έρευνα, καθώς και όταν επιλέγουμε την μέθοδο ή τον τρόπο που θα εφαρμόσουμε για να επιλύσουμε ένα πρόβλημα, όπως επίσης -εφόσον χρειάζεται- ποια θα είναι τα αντίστοιχα μαθηματικά που θα χρησιμοποιήσουμε.

Στην ιστοσελίδα τώρα phet.colorado.edu βρίσκουμε:
‪‬‬‬‬‬‬‬‬‬
https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_all.html?locale=el
Η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο: Τ = 2π √ l/g όπου l το μήκος του νήματος, και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αλλά γιατί; Πώς καταλήγουμε σ’ αυτό το συμπέρασμα;
Τα μαθηματικά «μιλούν από μόνα τους». Ας υψώσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο. Θα πάρουμε: Τ2 = 4π2 l/g ή l = g Τ2/4π2
Μας συμφέρει από μαθηματικής πάλι πλευράς, να απομονώσουμε τις τετραγωνισμένες παραμέτρους. Έχουμε: Τ2/4π2 = l/g .
Η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς είναι με βάση τη θεωρία για τις απλές αρμονικές ταλαντώσεις: F = -m ω2 x
Όμως το γινόμενο mω2, με ω = 2π/Τ, είναι εξ ορισμού καθώς προκύπτει, σταθερό. Μπορούμε λοιπόν να το αντικαταστήσουμε με μία σταθερά, έστω την D. Και θα ισχύει τότε η σχέση D = mω2 , απ’ όπου ω = √ D/m
Θα έχουμε τώρα: F = -Dx για τη δύναμη επαναφοράς.
Επίσης, η σχέση του Τ με το D, θα είναι: Τ = 2π/ω απ’ όπου με βάση τα παραπάνω
Τ = 2π/√ D/m = 2π/ ( √ m/D) και προχωρώντας παίρνουμε T2 = 4π2 m/D απ’ όπου
Τ = 2π √ m/D.
Λίγο ακόμα. Το m είναι η μάζα που αντιστοιχεί στον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ίσως;
Δηλαδή, αν γράψουμε F = mg x/l, δεν θα σφάλλουμε, τουλάχιστον διαστατικά. Αλλά πού στηρίζεται αυτή η αιφνίδια, ξαφνική μας έμπνευση;
Από τη θεωρία παίρνουμε: F = – mg sin θ.
Αν η γωνία θ είναι πολύ μικρή, θα έχουμε τότε sin θ ≈ θ. Απ’ όπου, με βάση την τριγωνομετρία ή το πυθαγόρειο θεώρημα απλώς αν θέλετε, παίρνουμε:
F = – mgθ = – mg x/l = – (mg/l) x.
Κι αυτή η εξίσωση είναι εκείνη που εμπνευστήκαμε διαστατικά από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Αν τώρα βάλουμε mg/l = D , θα πάρουμε: T = 2π √ m/mg/l = 2π √ l/g που είναι και το ζητούμενο. Η μικρή μας βόλτα με τις εξισώσεις του απλού εκκρεμούς, εδώ τελειώνει.

Στην ιστοσελίδα pop-sci.gr διαβάζουμε:

https://pop-sci.gr/fygokentros-mia-dynami-gnosti-se-oloy/

Η φυγόκεντρος δεν είναι μια καινούργια δύναμη που εμφανίζεται στην κυκλική κίνηση ενός σώματος: είναι η συνισταμένη (το άθροισμα δηλαδή το διανυσματικό) των δυνάμεων που ήδη ασκούνται σ’ αυτό. Και ποιες είναι αυτές οι δυνάμεις; Είναι το βάρος του σώματος και η κεντρομόλος.

4.5 Άνωση – Αρχή του Αρχιμήδη (ebooks.edu.gr)

Ένας γενικός τύπος για την πλεύση των σωμάτων – Χαράλαμπος Λάσκαρις
© 1978 – 2015

Μια περιγραφή της Αρχής του Αρχιμήδη:
Η επιφάνεια κάθε σώματος που βρίσκεται μέσα σε ένα υγρό, δέχεται δυνάμεις από το υγρό αυτό. Επειδή οι δυνάμεις αυτές όμως έχουν μέτρο που αυξάνει με το βάθος, έπεται ότι η συνισταμένη τους θα έχει φορά προς τα πάνω. Αυτό το συμπέρασμα εξάγεται από την βασική αρχή της Υδροστατικής, P = εh, που δίνει για τη δύναμη την εξίσωση F = εhS, μια και εξ ορισμού, F = PS. Tώρα, τη συνισταμένη αυτή δύναμη, την ονομάζουμε άνωση.
Ισχύει όμως: ε = Β/V, που δίνει για την περίπτωση της ισορροπίας του σώματος μέσα στο υγρό ε = A/V, όπου Α η άνωση. Και τελικά παίρνουμε Α = εV, όπου V o όγκος του εκτοπιζόμενου από το σώμα υγρού, και ε το ειδικό βάρος του υγρού. Έτσι, μπορούμε να διατυπώσουμε την αρχή του Αρχιμήδη ως εξής:
«Κάθε σώμα βυθισμένο σε ένα υγρό δέχεται άνωση ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει».
Είναι φανερό ότι το γινόμενο εV ισούται εξ ορισμού με το βάρος του σώματος.

Η πλεύση των σωμάτων
Όταν βυθίσουμε ένα σώμα μέσα σ’ ένα υγρό (λ.χ. νερό) και μετά το αφήσουμε ελεύθερο, επάνω του θα ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις: το βάρος του Β και η άνωση Α.
Η κίνηση που θα κάνει το σώμα εξαρτάται από τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα σε αυτές τις δύο δυνάμεις. Από την αναλογία τους. Έτσι, μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
α. Αν Α < Β, δηλαδή αν ευγρ < εσ, τότε το σώμα θα κινηθεί προς τον πυθμένα. β. Αν Α = Β, δηλαδή εάν ευγρ = εσ τότε το σώμα θα ισορροπήσει σε οποιαδήποτε θέση κι αν το αφήσουμε μέσα στο υγρό. γ. Αν Α > Β, δηλαδή εάν ευγρ > εσ τότε το σώμα θα κινηθεί προς την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Όταν το σώμα φτάσει εκεί, ένα μέρος του θα βγει έξω από το υγρό, έτσι ώστε η άνωση να γίνει ίση με το βάρος του. Τότε, το σώμα θα ισορροπήσει. Την ισορροπία αυτή, την ονομάζουμε πλεύση.
Αυτό που συνάγεται για την περίπτωση της πλεύσης, είναι ότι τότε θα ισχύει:
Vσεν > Vσεσ , όπου εν το ειδικό βάρος του νερού λ.χ. (Ας υποθέσουμε απλώς ότι το σώμα επιπλέει στο νερό).
Καθώς όμως «βγαίνει έξω» όγκος έστω V1 , το εκτοπιζόμενο νερό έχει όγκο Vσ – V1 . Συνεπώς, ή άνωση Α θα δίνεται από τη σχέση Vσεν – V1εν , μια και η άνωση ισούται πάντα με τον εκτοπιζόμενο όγκο του υγρού από το σώμα, πολλαπλασιασμένο με το ειδικό βάρος του υγρού. Τώρα, στην περίπτωση δηλαδή της πλεύσης, έχει μείνει απλώς λιγότερος εκτοπιζόμενος όγκος. Βγαίνει δε έξω τόσος όγκος V1 ώστε να ισχύει η σχέση:
Vσεν – V1εν = Vσεσ , (1)
επειδή ακριβώς στην περίπτωση της πλεύσης, θα πρέπει να ισχύει Ατελ. = Β. (Το βάρος του σώματος δεν αλλάζει αν ο μισός έστω όγκος είναι μέσα στο υγρό και ο υπόλοιπος έξω από αυτό).
Ο γενικός τύπος (1) για την πλεύση των σωμάτων λοιπόν, μπορεί να γραφεί και ως εξής:

εν ( Vσ – V1) = Vσεσ

όπου Vσ – V1 είναι προφανώς ο βυθισμένος όγκος του σώματος.